Questo articolo è stato pubblicato nell'ambito del Blogathon sulla scienza dei dati.
introduzione
Oggi, parliamo di uno dei concetti fondamentali della statistica: distribuzioni di probabilità. Aiutano a comprendere meglio i dati e fungono da base per comprendere più concetti statistici, come intervalli di confidenza e test di ipotesi.
Definizione informale
Sia X uno variabileIn statistica e matematica, un "variabile" è un simbolo che rappresenta un valore che può cambiare o variare. Esistono diversi tipi di variabili, e qualitativo, che descrivono caratteristiche non numeriche, e quantitativo, che rappresentano quantità numeriche. Le variabili sono fondamentali negli esperimenti e negli studi, poiché consentono l'analisi delle relazioni e dei modelli tra elementi diversi, facilitare la comprensione di fenomeni complessi.... che ha più di un risultato possibile. Traccia la probabilità sull'asse y e il risultato sull'asse x. Se ripetiamo l'esperimento molte volte e tracciamo un grafico della probabilità di ogni possibile risultato, otteniamo un grafico che rappresenta le probabilità. Questo grafico è chiamato distribuzione di probabilità (PD). L'altezza del grafico per X dà la probabilità di quel risultato.
Tipi di distribuzioni di probabilità
Esistono due tipi di distribuzioni a seconda del tipo di dati generati dagli esperimenti.
1. Distribuzioni di probabilità discrete
Queste distribuzioni modellano le probabilità di variabili casuali che possono avere valori discreti come risultati.. Ad esempio, i possibili valori per la variabile casuale X che rappresenta il numero di teste che possono verificarsi quando una moneta viene lanciata due volte sono l'insieme {0, 1, 2} e non solo qualsiasi valore di 0 un 2 Che cosa 0.1 oh 1.6.
Esempi: Bernoulli, Binomiale, binomio negativo, ipergeometrico, eccetera.,
2. Distribuzioni di probabilità continue
Queste distribuzioni modellano le probabilità di variabili casuali che possono avere qualsiasi risultato possibile.. Ad esempio, i possibili valori per la variabile casuale X che rappresenta il peso dei cittadini in una città che può avere qualsiasi valore come 34,5, 47,7, eccetera.
Esempi: Normale, T lo Studente, Chi al quadrato, esponenziale, eccetera.,
Terminologie
Ogni DP ci fornisce ulteriori informazioni sul comportamento dei dati coinvolti.. Ogni PD è data da una funzione di probabilità che generalizza le probabilità dei risultati.
Con questo, possiamo stimare la probabilità di un particolare risultato (discreto) o la probabilità che rientri in un particolare intervallo di valori per un dato risultato (continuo). La funzione è chiamata funzione di massa di probabilità (PMF) per distribuzioni discrete e funzione di densità di probabilità (PDF) per distribuzioni continue. Il valore totale di PMF e PDF nell'intero dominio è sempre uguale a uno.
Funzione di distribuzione cumulativa
Il PDF fornisce la probabilità di un particolare risultato, mentre la funzione di distribuzione cumulativa fornisce la probabilità di vedere un risultato minore o uguale a un particolare valore della variabile casuale. I CDF vengono utilizzati per verificare come è stata sommata la probabilità fino a un certo punto. Ad esempio, e P (X = 5) è la probabilità che il numero di teste lanciando una moneta sia 5, P (X <= 5) indica la probabilità cumulativa di ottenere da 1 un 5 facce.
Le funzioni di distribuzione cumulativa vengono anche utilizzate per calcolare i valori p come parte del test di ipotesi..
Distribuzioni di probabilità discrete
Esistono molte distribuzioni di probabilità discrete da utilizzare in diversi scenari. Discuteremo le distribuzioni discrete in questo post.. Le distribuzioni binomiale e di Poisson sono le più discusse nell'elenco seguente.
1. Distribuzione Bernoulli
Questa distribuzione viene generata quando eseguiamo un esperimento una volta e ha solo due possibili risultati: successo e fallimento. I test di questo tipo sono chiamati test di Bernoulli., che costituiscono la base di molte distribuzioni discusse di seguito. Sia p la probabilità di successo e 1 – p è la probabilità di fallimento.
Il PMF è dato come
Un esempio di questo sarebbe lanciare una moneta una volta. p è la probabilità di andare avanti e 1 – p è la probabilità di ottenere una coda. Tieni presente che il successo e il fallimento sono soggettivi e li definiamo in base al contesto.
2. Distribuzione binomiale
Questo è generato per variabili casuali con solo due possibili esiti. Sia p la probabilità che un evento sia un successo, il che implica che 1 – p è la probabilità che l'evento sia un fallimento. Eseguendo l'esperimento ripetutamente e tracciando graficamente la probabilità ogni volta ci dà la distribuzione binomiale.
L'esempio più comune fornito per la distribuzione binomiale è lanciare una moneta n un numero di volte e calcolare le probabilità di ottenere un determinato numero di teste. Altri esempi del mondo reale includono il numero di chiamate di vendita riuscite per un'azienda o se un farmaco funziona o meno per una malattia..
Il PMF è dato come,
dove p è la probabilità di successo, n è il numero di tentativi e x è il numero di volte che otteniamo un successo.
3. Distribuzione ipergeometrica
Consideriamo il caso della rimozione di una biglia rossa da una scatola di biglie di colore diverso.. L'evento in cui si estrae una palla rossa è un successo e non estrarla è un fallimento. Ma ogni volta che si estrae una biglia, non viene restituito alla scatola e, così, questo influenza la probabilità di ottenere una palla nel prossimo round. La distribuzione ipergeometrica modella la probabilità di k successi in n prove in cui ogni prova viene eseguita senza sostituzione. Questo è diverso dalla distribuzione binomiale in cui la probabilità rimane costante durante le prove..
Il PMF è dato come,
dove k è il numero di possibili successi, x è il numero desiderato di successi, N è la dimensione della popolazione e n è il numero di prove.
4. Distribuzione binomiale negativa
A volte vogliamo verificare quanti test Bernoulli dobbiamo fare per ottenere un determinato risultato. Il risultato desiderato è specificato in anticipo e continuiamo l'esperimento fino a quando non viene raggiunto. Considera l'esempio del lancio di un dado. Il nostro risultato desiderato, definito come un successo, è quello di ottenere un 4. Vogliamo conoscere la probabilità di ottenere questo risultato tre volte. Questo viene interpretato come il numero di fallimenti (altri numeri a parte 4) cosa accadrà prima di vedere il terzo successo.
Il PMF è dato come,
dove p è la probabilità di successo, k è il numero di fallimenti osservati ed r è il numero di successi desiderati fino all'interruzione dell'esperimento.
Come nella distribuzione binomiale, la probabilità tra le prove rimane costante e ogni prova è indipendente dall'altra.
5. Distribuzione geometrica
Questo è un caso speciale di distribuzione binomiale negativa in cui il numero di successi desiderati è 1. Misura il numero di fallimenti che otteniamo prima di un successo. Usando lo stesso esempio dato nella sezione precedente, vorremmo conoscere il numero di guasti che vediamo prima di ottenere i primi 4 quando si lanciano i dadi.
dove p è la probabilità di successo e k è il numero di fallimenti. Qui, r = 1.
6. Distribuzione del veleno
Questa distribuzione descrive gli eventi che si verificano in un intervallo di tempo o spazio fisso.. Un esempio potrebbe chiarire questo. Considera il caso del numero di chiamate che un centro di assistenza clienti riceve all'ora. Possiamo stimare il numero medio di chiamate all'ora, ma non possiamo determinare il numero esatto e l'ora esatta in cui c'è una chiamata. Ogni occorrenza di un evento è indipendente dalle altre occorrenze.
Il PMF è dato come,
dove è il numero medio di volte in cui l'evento si è verificato in un determinato periodo di tempo, x è il risultato desiderato ed e è il numero di Eulero.
7. Distribuzione multinomiale
Nelle distribuzioni precedenti, ci sono solo due possibili risultati: successo e fallimento. tuttavia, la distribuzione multinomiale descrive variabili casuali con molti possibili esiti. Qualche volta, questa è anche chiamata distribuzione categoriale, poiché ogni possibile risultato è trattato come una categoria separata. Considera lo scenario di giocare a un gioco n volte. La distribuzione multinomiale ci aiuta a determinare la probabilità combinata che il giocatore 1 vincere x1 volte, il giocatore 2 vincerà x2 volte e il giocatore k vince XK volte.
Il PMF è dato come,
dove n è il numero di prove, P1,…… pagK denotare le probabilità dei risultati x1……XK rispettivamente.
In questo post, Abbiamo definito le distribuzioni di probabilità e discusso brevemente diverse distribuzioni di probabilità discrete. Fammi sapere i tuoi pensieri sull'articolo nella sezione commenti qui sotto..
Riferimenti
1. https://www.statisticshowto.com/
2. https://stattrek.com/
3. Wikipedia
A proposito di me
Sono un ex ingegnere del software che lavora alla transizione alla scienza dei dati. Sono uno studente di Master in Data Science. Sentiti libero di connetterti con me su https://www.linkedin.com/in/priyanka-madiraju/
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