Stimatori di punti | Guida agli stimatori puntuali nelle statistiche

introduzione

Teoria della stima e Verifica di ipotesi sono i concetti molto importanti di Statistica che sono ampiamente utilizzati da Statistiche, Ingegneri dell'apprendimento automatico, e Scienziati dei dati.

Quindi, in questo post, discuteremo gli stimatori puntuali nella teoria della stima della statistica.

Sommario

1. Stimatori e stimatori

2. Cosa sono gli stimatori di punti??

3. Qual è il campione casuale e la statistica??

4. Due statistiche comuni utilizzate:

• Campione medio
• Varianza di campionamento

5. Proprietà degli stimatori puntuali

• Imparzialità
• Efficiente
• coerente
• Basta

6. Metodi comuni per trovare stime puntuali

7. Stima del punto rispetto alla stima dell'intervallo

Stima e stimatori

Sia X una variabile casuale con distribuzione F_X(X; ?), dove è un parametro sconosciuto. Un campione casuale, X₁, X₂, –, X_Nord, di dimensione n presa a X.

Il problema della stima puntuale è la selezione di una statistica, G (X₁, X₂, —, X_Nord), che meglio stima il parametro θ.

Una volta osservato, il valore numerico di G (X₁, X₂, —, X_Nord) si chiama stima e statistica G (X₁, X₂, —, X_Nord) si chiama stimatore.

Cosa sono gli stimatori di punti??

Gli stimatori puntuali sono definiti come le funzioni utilizzate per trovare un valore approssimativo di un parametro di popolazione da campioni casuali della popolazione.. Prendono l'aiuto di dati campione da una popolazione per stabilire una stima puntuale o statistica che serva come la migliore stima di un parametro sconosciuto di una popolazione.

Fonte immagine: Google Immagini

Molto spesso, i metodi esistenti per trovare i parametri di grandi popolazioni non sono realistici.

Come esempio, quando vogliamo trovare l'altezza media delle persone che partecipano a una conferenza, sarà impossibile raccogliere l'altezza esatta di tutte le città congressuali del mondo. Anziché, uno statistico può utilizzare lo stimatore puntuale per stimare il parametro della popolazione.

Campione casuale e statistiche

Campione aleatorio: Un insieme di IID (distribuito in modo indipendente e identico) variabili casuali, X₁, X₂, X₃, —, X_Nord stabilito nello stesso spazio campionario è detto campione casuale di dimensione n.

Statistiche: Una funzione di un campione casuale è chiamata statistica (se non dipende da alcuna entità sconosciuta)

Come esempio, X₁+ X₂+ —— + X_Nord, X₁²X₂+ e^X3, X₁– X_Nord

Media campionaria e varianza campionaria

Due statistiche importanti:

Sia x₁, X₂, X₃, —, X_Nord essere un campione casuale, poi:

La media campionaria è indicata con X, e la varianza campionaria è indicata da S²

Qui x̄ y² si chiamano parametri di esempio.

I parametri della popolazione sono indicati tramite:

?² = varianza della popolazione e µ = media della popolazione

Fig. Popolazione e media campionaria

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Fig. Popolazione campione e varianza

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Caratteristiche della media campionaria:

E (X) = 1 / n (E (X_io)) = 1 / n (nµ) = µ

In cui si (X) = 1 / n²(Var (X_io)) = 1 / n² (nσ²) =²/Nord

Caratteristiche della varianza campionaria:

S² = 1 / (n-1) (? (X_io– X )² ) = 1 / (n-1) (x_io² – 2x̄ Σ x_io + nx̄² ) = 1 / (n-1) (x_io² – nx̄² )

Ora, Prendiamo le aspettative da entrambe le parti, otteniamo:

E (S²) = 1 / (n-1) (E (X_io²) – n E (X²)) = 1 / (n-1) (? (µ²+ ?²) – n (µ²+ ?²/ n)) = 1 / (n-1) ((n-1) ?²) =².

Proprietà degli stimatori puntuali

In ogni dato problema di stima, possiamo avere una classe infinita di stimatori appropriati da selezionare. Il problema è trovare uno stimatore G (X₁, X₂, —, X_Nord), per un parametro sconosciuto o la sua funzione ? (?), che ha proprietà “simpatico”.

Essenzialmente, vorremmo che lo stimatore g fosse “vicino” a Ψ.

Le seguenti sono le principali proprietà degli stimatori puntuali:

1. imparzialità:

Capiamo prima il significato del termine “Pregiudizio”

La differenza tra il valore atteso dello stimatore e il valore del parametro stimato è chiamata distorsione di uno stimatore puntuale..

Perché, lo stimatore è considerato imparziale quando il valore stimato del parametro e il valore del parametro da stimare sono uguali.

Allo stesso tempo, quanto più il valore atteso di un parametro è vicino al valore del parametro da misurare, più basso è il valore di bias.

Matematicamente,

uno stimatore G (X₁, X₂, —, X_Nord) si dice che sia uno stimatore imparziale di se

E (G (X₁, X₂, —, X_Nord)) =

In altre parole, in media, ci aspettiamo che g sia vicino al parametro vero θ. Abbiamo visto che se X₁, X₂, —, X_Nord essere un campione casuale di una popolazione con media µ e varianza σ², dopo

E (X) = µ y E (S²) =²

Perché, x̄ e s² sono stimatori imparziali per µ e σ²

2. Efficiente:

Lo stimatore puntuale più efficiente è quello con la varianza più piccola di tutti gli stimatori imparziali e coerenti.. La varianza rappresenta il livello di dispersione della stima, e la variazione più piccola dovrebbe variare meno da campione a campione.

In genere, l'efficienza dello stimatore dipende dalla distribuzione della popolazione.

Matematicamente,

uno stimatore grammo₁(X₁, X₂, —, X_Nord) è più efficiente di grammo₂(X₁, X₂, —, X_Nord), per si

In cui si (G₁(X₁, X₂, —, X_Nord)) <= Var (g₂(X₁, X₂, —, X_Nord))

3. coerente:

La coerenza descrive quanto lo stimatore puntiforme rimane vicino al valore del parametro man mano che aumenta di dimensione.. Per renderlo più coerente e preciso, lo stimatore puntuale ha bisogno di una grande dimensione del campione.

Possiamo anche verificare se uno stimatore puntuale è coerente osservando il rispettivo valore atteso e varianza.

Affinché lo stimatore puntuale sia coerente, il valore atteso dovrebbe spostarsi verso il valore effettivo del parametro.

Matematicamente,

Lascia che g₁, G₂, G₃, ——- essere una sequenza di stimatori, la successione si dice consistente se converge a in probabilità, In altre parole,

P (| G_Metro(X₁, X₂, —, X_Nord) – ? | >) -> 0 quando m-> ∞

Se X₁, X₂, —, X_Nord è una sequenza di variabili casuali IID tale che E (X_io) = µ, più tardi da WLLN (Legge debole dei grandi numeri):

X_Nord‘—–> µ di probabilità

Dove X_Nord'È la media di X₁, X₂, X₃, —, X_Nord

4. Basta:

Sii un campione di X ~ f (X; ?). e Y = g (X₁, X₂, —, X_Nord) è una statistica tale che per qualsiasi altra statistica Z = h (X₁, X₂, —, X_Nord), la distribuzione condizionata di Z, poiché Y = y non dipende da θ, allora Y si dice statistica sufficiente per.

Metodi comuni per trovare stime puntuali

La procedura di stima puntuale prevede l'utilizzo del valore di una statistica ottenuta con l'ausilio di dati campionari per stabilire la migliore stima del rispettivo parametro sconosciuto della popolazione.. Vari metodi possono essere utilizzati per calcolare o determinare gli stimatori puntuali, e ogni tecnica ha proprietà diverse. Alcuni dei metodi sono i seguenti:

1. Metodo dei momenti (MAMMA)

Inizia considerando tutti i fatti noti su una popolazione e quindi applicando tali fatti a un campione della popolazione.. Primo, deriva equazioni che mettono in relazione i momenti della popolazione con i parametri incogniti.

Il passo successivo è estrarre un campione dalla popolazione che verrà utilizzato per stimare i momenti della popolazione. Le equazioni generate nel primo passaggio vengono quindi risolte con l'aiuto della media campionaria dei momenti della popolazione. Questo fornisce la migliore stima dei parametri della popolazione sconosciuti.

Matematicamente,

Considera un campione X₁, X₂, X₃, —, X_Nord a partire dal F (X; ?₁, ?₂, —–, ?_Metro) .L'obiettivo è stimare i parametri θ₁, ?₂, —–, ?_Metro.

Lascia che siano i momenti della popolazione (teorici) un₁, un₂, ——–, un_R, che sono funzioni di parametri sconosciuti θ₁, ?₂, —–, ?_Metro.

Uguagliando i momenti del campione e i momenti della popolazione, otteniamo gli stimatori di₁, ?₂, —–, ?_Metro.

2. Stimatore di massima verosimiglianza (MLE)

Questo metodo per trovare stimatori puntuali tenta di trovare i parametri sconosciuti che massimizzano la funzione di verosimiglianza. Prendi un modello noto e usa i valori per confrontare i set di dati e trovare la migliore corrispondenza per i dati.

Matematicamente,

Considera un campione X₁, X₂, X₃, —, X_Nord spento (X; ?). L'obiettivo è stimare i parametri θ (scalare o vettoriale).

La funzione di verosimiglianza è impostata come:

l (?; X₁, X₂, —, X_Nord) = f (X₁, X₂, —, X_Nord; ?)

Un MLE di θ è il valore θ '(una funzione di esempio) che massimizza la funzione di verosimiglianza

Se L è una funzione differenziabile di, quindi la successiva equazione di verosimiglianza viene utilizzata per ottenere la MLE ('):

D / dθ (ln (l (?; X₁, X₂, —, X_Nord) = 0

Se è un vettore, allora si considera che le derivate parziali ottengano le equazioni di verosimiglianza.

Stima del punto rispetto alla stima dell'intervallo

Semplicemente, ci sono due tipi principali di stimatori in statistica:

• Stimatori di punti
• Stimatori di intervallo

La stima puntuale è l'opposto della stima per intervallo.

La stima del punto genera un valore univoco, mentre la stima dell'intervallo genera un intervallo di valori.

Uno stimatore puntuale è una statistica utilizzata per stimare il valore di un parametro sconosciuto in una popolazione. Utilizza i dati del campione della popolazione durante il calcolo di una singola statistica che sarà considerata la migliore stima per il parametro sconosciuto della popolazione.

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al contrario, la stima dell'intervallo prende dati campione per stabilire l'intervallo di possibili valori di un parametro sconosciuto in una popolazione. L'intervallo del parametro è selezionato per essere compreso tra a 95% o più probabilmente, conosciuto anche come intervallo di confidenza. L'intervallo di confidenza descrive quanto sia affidabile una stima e viene calcolato dai dati osservati. I punti finali degli intervalli sono noti come superiore e limiti di confidenza inferiori.

Note finali

Grazie per aver letto!

Spero che il post ti sia piaciuto e che abbia aumentato la tua conoscenza della teoria della stima.

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Circa l'autore

Aashi Goyal

A quest'ora, Sto perseguendo il mio Bachelor of Technology (B.Tech) in Ingegneria Elettronica e delle Comunicazioni Universidad Guru Jambheshwar (GJU), Hisar. Sono molto entusiasta delle statistiche, machine learning e deep learning.

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