Bestellstatistik | Was sind Bestellstatistiken?

Das K^NS die Ordnungsstatistik für dieses Experiment ist k^NS kleinster Wert der Menge {4, 2, 7, 11, 5}. Dann, das 1^NS die Bestellstatistik ist 2 (kleinster Wert), das 2^Norddakota die Bestellstatistik ist 4 (die nächstkleinere), usw. Das 5^NS die Ordnungsstatistik ist der fünftkleinste Wert (der größte Wert), Was ist es 11. Wir wiederholen diesen Vorgang viele Male, nämlich, wir extrahieren Stichproben aus der Verteilung jeder dieser iid-Zufallsvariablen und finden die k^NS kleinster Wert für jeden Satz von Beobachtungen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Werte ergibt die Verteilung von k^NS Bestellstatistik.

Allgemein, wenn wir Zufallsvariablen X . ordnen₁, x₂, …, x_Norden in aufsteigender Reihenfolge, dann die k^NS die Bestellstatistik wird angezeigt als:

Die allgemeine Schreibweise des k^NS die Bestellstatistik ist X_(k). Hinweis X_(k) ist verschieden von X_k. x_k ist der k^NS Zufallsvariable unserer Menge, während X_(k) ist der k^NS statistische Ordnung unseres Sets. x_(k) nimmt den Wert von X . an_k ja X_k ist der k^NS Zufallsvariable bei aufsteigender Sortierung der Realisierungen.

Das 1^NS Statistik der Ordnung X₍₁₎ ist die Menge der Minimalwerte der Realisierung der Menge von ‚n‘ zufällige Variablen. Später^NS Statistik der Ordnung X_(Norden) ist die Menge der Maximalwerte (n-te Mindestwerte) der Realisierung der Menge von ‚n‘ zufällige Variablen. Sie können ausgedrückt werden als:

Verteilung der Bestellstatistiken

Jetzt werden wir versuchen die Verteilung der Bestellstatistiken herauszufinden. Wir beschreiben zunächst die Verteilung von n^NS Bestellstatistik, dann er 1^NS statistische Ordnung und schließlich die k^NS allgemeine Bestellstatistik.

EIN) Verteilung von n^NS Bestellstatistik:

Sei die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) und die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) unsere Zufallsvariablen lassen f_x(x) y F_x(x) beziehungsweise. Nach Definition von CDF,

Da unsere Zufallsvariablen identisch verteilt sind, habe das gleiche PDF f_x(x) y CDF F_x(x). Nun berechnen wir die CDF von n^NS Bestellstatistik (F_Norden(x)) wie folgt:

Zufallsvariablen X₁, x₂, …, x_Norden sie sind auch unabhängig. Deswegen, nach Eigentum der Unabhängigkeit,

Das PDF der n^NS statistische Ordnung (F_Norden(x)) berechnet sich wie folgt:

Deswegen, der Ausdruck für PDF und CDF von n^NS Die Bestellstatistik wurde abgerufen.

B) Verteilung von 1^NS Bestellstatistik:

Der CDF einer Zufallsvariablen kann auch als Eins minus der Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass die Zufallsvariable X einen Wert größer oder gleich x . annimmt. Mathematisch,

Wir bestimmen den CDF von 1^NS Bestellstatistik (F₁(x)) wie folgt:

Ein Mal noch, unter Verwendung der Unabhängigkeitseigenschaft von Zufallsvariablen,

Das PDF der 1^NS statistische Ordnung (F₁(x)) berechnet sich wie folgt:

Deswegen, der Ausdruck für PDF und CDF von 1^NS Die Bestellstatistik wurde abgerufen.

C) Verteilung des k^NS Bestellstatistik:

Gabel^NS Bestellstatistik, allgemein, die folgende Gleichung beschreibt Ihre CDF (F_k(x)):

Das PDF von k^NS statistische Ordnung (F_k(x)) wird ausgedrückt als:

Um Verwechslungen vorzubeugen, Wir werden geometrische Beweise verwenden, um die Gleichung zu verstehen. Wie oben besprochen, der Satz der Zufallsvariablen hat das gleiche PDF (F_x(x)). Die folgende Grafik zeigt ein Beispiel-PDF mit dem k^NS Bestellstatistik aus Zufallsstichproben:

Dann, das PDF der Zufallsvariablen f_x(x) ist definiert zwischen dem Intervall [ein,B]. Die Statistik k-ter Ordnung für eine Zufallsstichprobe wird mit der roten Linie dargestellt. Die anderen variablen Realisierungen (für die Zufallsstichprobe) dargestellt durch die kleinen schwarzen Linien auf der x-Achse.

Es gibt genau (k – 1) Beobachtungen von Zufallsvariablen, die in den gelben Bereich des Graphen fallen (die Region dazwischen & k^NS Bestellstatistik). Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Beobachtung in diesen Bereich fällt, ergibt sich aus der CDF der Zufallsvariablen (F_x(x)). Aber das ist uns bewusst (k – 1) Beobachtungen fielen in der Region, was gibt uns den Begriff (für die Unabhängigkeit) (F_x(x))^{(k – 1)}.

Es gibt genau (n – k) Beobachtungen von Zufallsvariablen, die in den blauen Bereich des Diagramms fallen (die Region zwischen k^NS statistische Ordnung & B). Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Beobachtung in diesen Bereich fällt, ist gegeben durch 1 – CDF der Zufallsvariablen (1- F_x(x)). Aber das ist uns bewusst (n – k) Beobachtungen fielen in der Region, was gibt uns den Begriff (für die Unabhängigkeit) (1-F_x(x))^{(n – k)}.

Schließlich, Exakt 1 Beobachtung fällt genau auf die Statistik k-ter Ordnung mit Wahrscheinlichkeit f_x(x). Deswegen, das Produkt von 3 Begriffe gibt uns eine Vorstellung von der geometrischen Bedeutung der Gleichung für PDF der Statistik k-ter Ordnung. Aber, Woher kommt der Fakultätsterm? Das obige Szenario zeigte nur eine der vielen Bestellungen. Es kann viele dieser Kombinationen geben. Die Gesamtzahl dieser Kombinationen ist unten aufgeführt:

Deswegen, das Produkt all dieser Terme gibt uns die allgemeine Verteilung von k^NS Bestellstatistik.

Nützliche Funktionen der Bestellstatistik

Auftragsstatistiken führen zu mehreren nützlichen Funktionen. Unter ihnen, zu den bemerkenswerten gehören die Spannweite der Stichprobe und die MedianDer Median ist ein statistisches Maß, das den zentralen Wert eines Satzes geordneter Daten darstellt. Um es zu berechnen, Die Daten werden von der niedrigsten zur höchsten sortiert und die Zahl in der Mitte wird identifiziert. Wenn es eine gerade Anzahl von Beobachtungen gibt, Die beiden Kernwerte werden gemittelt. Dieser Indikator ist besonders nützlich bei asymmetrischen Verteilungen, da es nicht von Extremwerten beeinflusst wird.... der Stichprobe.

1) Probenbereich: Es ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Wert. Es wird wie folgt ausgedrückt:

2) Probenmedian: Der Stichprobenmedian teilt die Zufallsstichprobe (Realisierungen der Menge der Zufallsvariablen) in zwei Hälften, einer mit den niedrigstwertigen Samples und der andere mit den höchstwertigen Samples. Es ist wie die Statistik mittlerer Ordnung / zentral. Es ist mathematisch definiert als:

Bestellstatistik-Set PDF

Eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion kann uns helfen, die Beziehung zwischen zwei Zufallsvariablen besser zu verstehen (Statistik zweier Ordnung
in unserem Fall). Das eingestellte PDF für alle Statistiken von 2 X Bestellungen_(ein) & x_(B), so dass 1 ≤ a ≤ b ≤ n ergibt sich aus der folgenden Gleichung:

Beispiel

Anhand eines ganz einfachen Beispiels wollen wir die Verteilung der Bestellstatistik verdeutlichen: die Standard-Gleichverteilung (U[0, 1] Verteilung). Wir werden nehmen 5 Zufallsvariablen X₁, x₂, x₃, x₄, x₅, jeder hat das U[0, 1] Verteilung. Für diesen Satz von Zufallsvariablen, wir berechnen und zeichnen die 1^NS, 3^rd (der Stichprobenmedian) Ja 5^NS (Norden^NS) Bestellstatistik. La siguiente Abbildung"Abbildung" ist ein Begriff, der in verschiedenen Zusammenhängen verwendet wird, Von der Kunst zur Anatomie. Im künstlerischen Bereich, bezieht sich auf die Darstellung menschlicher oder tierischer Formen in Skulpturen und Gemälden. In der Anatomie, bezeichnet die Form und Struktur des Körpers. Was ist mehr, in der Mathematik, "Abbildung" Es hängt mit geometrischen Formen zusammen. Seine Vielseitigkeit macht es zu einem grundlegenden Konzept in mehreren Disziplinen.... zeigt die U[0, 1] Verteilung:

Wir ziehen wie folgt Stichproben und finden die 1^NS, 3^rd & 5^NS Bestellstatistik für jede Probe. Unten sind zwei der Beispiele:

Die Standard-Uniform Distribution PDF und CDF werden als:

Wir verwenden diese Informationen und berechnen X₍₁₎, x₍₃₎ & x₍₅₎ mit den von uns abgeleiteten Formeln. Wir nehmen den Fall nur, wenn x zwischen liegt 0 Ja 1 (für andere Fälle, die Bestellstatistik ist null, da PDF null ist).

EIN) Zu 1^NS Bestellstatistik:

Grundstück für f₁(x):

B) Zu 3^rd Bestellstatistik:

Grundstück für f₅(x):

C) Zu 5^NS Bestellstatistik:

Grundstück für f₅(x):

Fazit

Deswegen, Wir haben uns eingehend mit den Konzepten der Auftragsstatistik befasst. Durch Ordnungsstatistiken können verschiedenste physikalische Prozesse modelliert werden, seine Eigenschaften ausnutzen, insbesondere deren Verteilungen.

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