Estatísticas de pedidos | O que são estatísticas de pedidos?

O K^º a estatística de pedido para este experimento é k^º menor valor do conjunto {4, 2, 7, 11, 5}. Então, a 1^{S t} a estatística do pedido é 2 (menor valor), a 2^{Dakota do Norte} a estatística do pedido é 4 (o próximo menor), e assim por diante. o 5^º a estatística do pedido é o quinto menor valor (o maior valor), o que é 11. Repetimos esse processo muitas vezes, quer dizer, extraímos amostras da distribuição de cada uma dessas variáveis ​​aleatórias iid e encontramos o k^º menor valor para cada conjunto de observações. A distribuição de probabilidade desses valores dá a distribuição de k^º estatísticas de pedidos.

Em geral, se ordenarmos variáveis ​​aleatórias X₁, X₂, …, X_Norte em ordem ascendente, então o k^º a estatística do pedido é exibida como:

A notação geral do k^º a estatística do pedido é X_(k). Nota X_(k) é diferente de X_k. X_k é o k^º variável aleatória do nosso conjunto, enquanto X_(k) é o k^º ordem estatística do nosso conjunto. X_(k) assume o valor de X_k sim x_k é o k^º Variável aleatória quando as realizações são classificadas em ordem crescente.

o 1^{S t} Estatística de ordem X₍₁₎ é o conjunto de valores mínimos de realização do conjunto de 'n’ variáveis ​​aleatórias. Mais tarde^º Estatística de ordem X_(Norte) é o conjunto de valores máximos (n-ésimo valores mínimos) da realização do conjunto de 'n’ variáveis ​​aleatórias. Eles podem ser expressos como:

Distribuição de estatísticas de pedidos

Agora vamos tentar descobrir a distribuição das estatísticas de pedidos. Vamos primeiro descrever a distribuição de n^º estatísticas de pedidos, depois ele 1^{S t} ordem estatística e finalmente o k^º estatísticas gerais de pedidos.

UMA) Distribuição de n^º Estatísticas de pedidos:

Deixe a função de densidade de probabilidade (PDF) e a função de distribuição cumulativa (CDF) nossas variáveis ​​aleatórias permitem f_X(x) y F_X(x) respectivamente. Por definição de CDF,

Uma vez que nossas variáveis ​​aleatórias são distribuídas de forma idêntica, tem o mesmo PDF f_X(x) y CDF F_X(X). Agora vamos calcular o CDF de n^º estatísticas de pedidos (F_Norte(x)) Como segue:

Variáveis ​​aleatórias X₁, X₂, …, X_Norte eles também são independentes. Por tanto, por propriedade de independência,

O PDF do n^º ordem estatística (f_Norte(x)) é calculado da seguinte forma:

Portanto, a expressão para PDF e CDF de n^º A estatística do pedido foi obtida.

B) Distribuição de 1^{S t} Estatísticas de pedidos:

O CDF de uma variável aleatória também pode ser calculado como um menos a probabilidade de que a variável aleatória X tenha um valor maior ou igual a x. Matematicamente,

Vamos determinar o CDF de 1^{S t} estatísticas de pedidos (F₁(x)) Como segue:

Mais uma vez, usando a propriedade de independência de variáveis ​​aleatórias,

O PDF do 1^{S t} ordem estatística (f₁(x)) é calculado da seguinte forma:

Portanto, a expressão para PDF e CDF de 1^{S t} A estatística do pedido foi obtida.

C) Distribuição do k^º Estatísticas de pedidos:

Garfo^º estatísticas de pedidos, em geral, a seguinte equação descreve seu CDF (F_k(X)):

O PDF de k^º ordem estatística (f_k(x)) é expresso como:

Para evitar confusões, vamos usar provas geométricas para entender a equação. Como discutido acima, o conjunto de variáveis ​​aleatórias tem o mesmo PDF (f_X(X)). O gráfico abaixo mostra um exemplo de PDF com k^º Estatística de pedido obtida a partir de amostragem aleatória:

Então, o PDF das variáveis ​​aleatórias f_X(x) é definido entre o intervalo [uma,b]. A estatística de ordem k para uma amostra aleatória é mostrada com a linha vermelha. As outras realizações variáveis (para a amostra aleatória) mostrado pelas pequenas linhas pretas no eixo x.

Existem exatamente (k – 1) observações de variáveis ​​aleatórias que caem na região amarela do gráfico (a região entre & k^º estatísticas de pedidos). A probabilidade de que uma observação particular caia nesta região é dada pelo CDF das variáveis ​​aleatórias (F_X(X)). Mas estamos cientes de que (k – 1) observações caíram na região, o que nos dá o termo (pela independência) (F_X(X))^{(k – 1)}.

Existem exatamente (n – k) observações de variáveis ​​aleatórias que caem na região azul do gráfico (a região entre k^º ordem estatística & b). A probabilidade de que uma determinada observação caia nesta região é dada pelo 1 – CDF das variáveis ​​aleatórias (1- F_X(X)). Mas estamos cientes de que (n – k) observações caíram na região, o que nos dá o termo (pela independência) (1-F_X(X))^{(n – k)}.

Finalmente, exatamente 1 observação cai exatamente na estatística de ordem k com probabilidade f_X(X). Portanto, o produto de 3 termos nos dá uma ideia do significado geométrico da equação para PDF da estatística de ordem k. Mas, De onde vem o termo fatorial? O cenário acima mostrou apenas um dos muitos pedidos. Pode haver muitas dessas combinações. O número total de tais combinações é mostrado abaixo:

Por tanto, o produto de todos esses termos nos dá a distribuição geral de k^º estatísticas de pedidos.

Funções úteis de estatísticas de pedidos

Estatísticas de pedidos levam a várias funções úteis. Entre eles, los notables incluyen el rango de la muestra y la medianaA mediana é uma medida estatística que representa o valor central de um conjunto de dados ordenados. Para calculá-lo, Os dados são organizados do menor para o maior e o número no meio é identificado. Se houver um número par de observações, Os dois valores principais são calculados em média. Este indicador é especialmente útil em distribuições assimétricas, uma vez que não é afetado por valores extremos.... de la muestra.

1) Gama de amostra: É definido como a diferença entre o maior e o menor valor. É expresso da seguinte forma:

2) Mediana da amostra: A mediana da amostra divide a amostra aleatória (realizações do conjunto de variáveis ​​aleatórias) em duas metades, um contendo as amostras de menor valor e o outro contendo as amostras de maior valor. É como a estatística de ordem média / central. É matematicamente definido como:

PDF do conjunto de estatísticas do pedido

Uma função de densidade de probabilidade conjunta pode nos ajudar a entender melhor a relação entre duas variáveis ​​aleatórias (estatísticas de duas ordens
no nosso caso). O PDF conjunto para quaisquer estatísticas de 2 X pedidos_(uma) & X_(B), tal que 1 ≤ a ≤ b ≤ n é dado pela seguinte equação:

Exemplo

Usaremos um exemplo muito simples para ilustrar a distribuição das estatísticas do pedido: a distribuição uniforme padrão (você[0, 1] distribuição). Tomaremos 5 variáveis ​​aleatórias X₁, X₂, X₃, X₄, X₅, todo mundo tem o u[0, 1] distribuição. Para este conjunto de variáveis ​​aleatórias, vamos calcular e traçar o 1^{S t}, 3^rd (a mediana da amostra) e 5^º (Norte^º) estatísticas de pedidos. O seguinte figura"Figura" é um termo usado em vários contextos, Da arte à anatomia. No campo artístico, refere-se à representação de formas humanas ou animais em esculturas e pinturas. Em anatomia, designa a forma e a estrutura do corpo. O que mais, em matemática, "figura" está relacionado a formas geométricas. Sua versatilidade o torna um conceito fundamental em várias disciplinas.... muestra la U[0, 1] distribuição:

Vamos extrair amostras aleatórias da seguinte forma e encontrar o 1^{S t}, 3^rd & 5^º estatística de pedido para cada amostra. Abaixo estão dois dos exemplos:

A distribuição uniforme padrão PDF e CDF são dados como:

Usaremos essas informações e calcularemos X₍₁₎, X₍₃₎ & X₍₅₎ usando as fórmulas que derivamos. Tomaremos o caso apenas quando x estiver entre 0 e 1 (para outros casos, a estatística do pedido é zero, pois o PDF é zero).

UMA) Para 1^{S t} estatísticas de pedidos:

Traçar para f₁(X):

B) Para 3^rd estatísticas de pedidos:

Traçar para f₅(X):

C) Para 5^º estatísticas de pedidos:

Traçar para f₅(X):

conclusão

Portanto, exploramos os conceitos de estatística de pedidos em profundidade. Uma ampla gama de processos físicos pode ser modelada por meio de estatísticas de pedidos, explorando suas propriedades, particularmente suas distribuições.

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