Estimadores puntuales | Guía de estimadores puntuales en estadística

Introducción

Teoría de la estimación y Prueba de hipótesis son los conceptos muy importantes de Estadística que son muy utilizados por Estadísticos, Ingenieros de aprendizaje automático, y Científicos de datos.

Entonces, en este post, discutiremos los estimadores puntuales en la teoría de estimación de la estadística.

Tabla de contenido

1. Estimadores y estimadores

2. ¿Qué son los estimadores de puntos?

3. ¿Qué es la muestra aleatoria y la estadística?

4. Dos estadísticas comunes utilizadas:

• Muestra promedio
• Varianza de la muestra

5. Propiedades de los estimadores puntuales

• Imparcialidad
• Eficiente
• Consistente
• Suficiente

6. Métodos comunes para hallar estimaciones puntuales

7. Estimación puntual frente a estimación por intervalo

Estimación y estimadores

Sea X una variableEn estadística y matemáticas, una "variable" es un símbolo que representa un valor que puede cambiar o variar. Existen diferentes tipos de variables, como las cualitativas, que describen características no numéricas, y las cuantitativas, que representan cantidades numéricas. Las variables son fundamentales en experimentos y estudios, ya que permiten analizar relaciones y patrones entre diferentes elementos, facilitando la comprensión de fenómenos complejos.... aleatoria con distribución F_X(x; θ), donde θ es un parámetro desconocido. Una muestra aleatoria, X₁, X₂, –, X_norte, de tamaño n tomado en X.

El problema de la estimación puntual es seleccionar una estadística, g (X₁, X₂, —, X_norte), que mejor estima el parámetro θ.

Una vez observado, el valor numérico de g (x₁, X₂, —, X_norte) se llama estimación y estadística g (X₁, X₂, —, X_norte) se llama estimadorEl "Estimador" es una herramienta estadística utilizada para inferir características de una población a partir de una muestra. Se basa en métodos matemáticos para proporcionar estimaciones precisas y confiables. Existen diferentes tipos de estimadores, como los insesgados y los consistentes, que se eligen según el contexto y el objetivo del estudio. Su correcto uso es fundamental en investigaciones científicas, encuestas y análisis de datos.....

¿Qué son los estimadores de puntos?

Los estimadores puntuales se definen como las funciones que se usan para hallar un valor aproximado de un parámetro de población a partir de muestras aleatorias de la población. Toman la ayuda de los datos de muestra de una población para establecer una estimación puntual o una estadística que sirve como la mejor estimación de un parámetro desconocido de una población.

Fuente de la imagen: imágenes de Google

Muy a menudo, los métodos existentes para hallar los parámetrosLos "parámetros" son variables o criterios que se utilizan para definir, medir o evaluar un fenómeno o sistema. En diversos campos como la estadística, la informática y la investigación científica, los parámetros son fundamentales para establecer normas y estándares que guían el análisis y la interpretación de datos. Su adecuada selección y manejo son cruciales para obtener resultados precisos y relevantes en cualquier estudio o proyecto.... de grandes poblaciones no son realistas.

A modo de ejemplo, cuando queremos hallar la altura promedio de las personas que asisten a una conferencia, será imposible recolectar la altura exacta de todos los pueblos de la conferencia en el mundo. En cambio, un estadístico puede utilizar el estimador puntual para estimar el parámetro de población.

Muestra aleatoria y estadística

Muestra aleatoria: Un conjunto de IID (independiente e idénticamente distribuido) variables aleatorias, X₁, X₂, X₃, —, X_norte establecida en el mismo espacio muestral se denomina muestra aleatoria de tamaño n.

Estadística: Una función de una muestra aleatoria se llama estadística (si no depende de ninguna entidad desconocida)

A modo de ejemplo, X₁+ X₂+ —— + X_norte, X₁²X₂+ e^X3, X₁– X_norte

Media muestral y varianza muestral

Dos estadísticas importantes:

Deje X₁, X₂, X₃, —, X_norte ser una muestra aleatoria, entonces:

La media muestral se denota por X, y la varianza de la muestra se denota por s²

Aquí x̄ ys² se llaman los parámetros de muestra.

Los parámetros de población se indican a través de:

σ² = varianza de la población y µ = media de la población

Fig. Población y media muestral

Fuente de la imagen: imágenes de Google

Fig. Población y varianza de la muestra

Fuente de la imagen: imágenes de Google

Características de la media muestral:

E (x̄) = 1 / n (Σ E (X_I)) = 1 / n (nµ) = µ

Var (x̄) = 1 / n²(Σ Var (X_I)) = 1 / n² (nσ²) = σ²/norte

Características de la varianza de la muestra:

s² = 1 / (n-1) (Σ (x_I– X )² ) = 1 / (n-1) (Σ x_I² – 2x̄ Σ x_I + nx̄² ) = 1 / (n-1) (Σ x_I² – nx̄² )

Ahora, tomemos la expectativa de ambos lados, obtenemos:

E (s²) = 1 / (n-1) (Σ E (x_I²) – n E (x̄²)) = 1 / (n-1) (Σ (µ²+ σ²) – n (µ²+ σ²/ n)) = 1 / (n-1) ((n-1) σ²) = σ².

Propiedades de los estimadores puntuales

En cualquier problema de estimación dado, podemos tener una clase infinita de estimadores apropiados para seleccionar. El problema es hallar un estimador g (X₁, X₂, —, X_norte), para un parámetro desconocido θ o su función Ψ (θ), que tiene propiedades «agradables».

Esencialmente, nos gustaría que el estimador g estuviera “cerca” de Ψ.

Las siguientes son las principales propiedades de los estimadores puntuales:

1. imparcialidad:

Primero entendamos el significado del término «Parcialidad»

La diferencia entre el valor esperado del estimador y el valor del parámetro que se estima se denomina sesgo de un estimador puntual.

Por eso, el estimador se considera insesgado cuando el valor estimado del parámetro y el valor del parámetro que se está estimando son iguales.

Al mismo tiempo, cuanto más cerca esté el valor esperado de un parámetro al valor del parámetro que se está midiendo, menor será el valor del sesgo.

Matemáticamente,

Un estimador g (X₁, X₂, —, X_norte) se dice que es un estimador insesgado de θ si

E (g (X₁, X₂, —, X_norte)) = θ

Dicho de otra forma, en promedio, esperamos que g esté cerca del parámetro verdadero θ. Hemos visto que si X₁, X₂, —, X_norte ser una muestra aleatoria de una población con media µ y varianza σ², después

E (x̄) = µ y E (s²) = σ²

Por eso, x̄ y s² son estimadores insesgados para µ y σ²

2. Eficiente:

El estimador puntual más eficiente es el que tiene la varianza más pequeña de todos los estimadores insesgados y consistentes. La varianza representa el nivel de dispersión de la estimación, y la varianza más pequeña debe variar menos de una muestra a otra.

De forma general, la eficiencia del estimador depende de la distribución de la población.

Matemáticamente,

Un estimador gramo₁(X₁, X₂, —, X_norte) es más eficiente que gramo₂(X₁, X₂, —, X_norte), por θ si

Var (g₁(X₁, X₂, —, X_norte)) <= Var (g₂(X₁, X₂, —, X_norte))

3. Consistente:

La consistencia describe qué tan cerca permanece el estimador puntual del valor del parámetro a medidaLa "medida" es un concepto fundamental en diversas disciplinas, que se refiere al proceso de cuantificar características o magnitudes de objetos, fenómenos o situaciones. En matemáticas, se utiliza para determinar longitudes, áreas y volúmenes, mientras que en ciencias sociales puede referirse a la evaluación de variables cualitativas y cuantitativas. La precisión en la medición es crucial para obtener resultados confiables y válidos en cualquier investigación o aplicación práctica.... que aumenta de tamaño. Para que sea más consistente y preciso, el estimador puntual necesita un tamaño de muestra grande.

Además podemos verificar si un estimador puntual es consistente observando su respectivo valor esperado y varianza.

Para que el estimador puntual sea consistente, el valor esperado debe moverse hacia el valor real del parámetro.

Matemáticamente,

Deje g₁, g₂, g₃, ——- ser una secuencia de estimadores, se dice que la secuencia es consistente si converge a θ en probabilidad, dicho de otra forma,

P (| g_metro(X₁, X₂, —, X_norte) – θ | > ε) -> 0 cuando m-> ∞

Si X₁, X₂, —, X_norte es una secuencia de variables aleatorias IID tal que E (X_I) = µ, después por WLLN (Ley débil de números grandes):

X_norte‘—–> µ de probabilidad

Donde X_norte‘es la media de X₁, X₂, X₃, —, X_norte

4. Suficiente:

Sea una muestra de X ~ f (x; θ). Si Y = g (X₁, X₂, —, X_norte) es una estadística tal que para cualquier otra estadística Z = h (X₁, X₂, —, X_norte), la distribución condicional de Z, dado que Y = y no depende de θ, entonces Y se llama estadística suficiente para θ.

Métodos comunes para hallar estimaciones puntuales

El procedimiento de estimación puntual implica la utilización del valor de una estadística que se obtiene con la ayuda de datos de muestra para establecer la mejor estimación del respectivo parámetro desconocido de la población. Se pueden usar varios métodos para calcular o determinar los estimadores puntuales, y cada técnica tiene propiedades diferentes. Algunos de los métodos son los siguientes:

1. Método de los momentos (MOM)

Comienza tomando en consideración todos los hechos conocidos sobre una población y después aplicando esos hechos a una muestra de la población. En primer lugar, deriva ecuaciones que relacionan los momentos poblacionales con los parámetros desconocidos.

El siguiente paso es extraer una muestra de la población que se utilizará para estimar los momentos poblacionales. Las ecuaciones generadas en el paso uno se resuelven después con la ayuda de la media muestral de los momentos poblacionales. Esto da la mejor estimación de los parámetros de población desconocidos.

Matemáticamente,

Considere una muestra X₁, X₂, X₃, —, X_norte de f (x; θ₁, θ₂, —–, θ_metro) .El objetivo es estimar los parámetros θ₁, θ₂, —–, θ_metro.

Sean los momentos poblacionales (teóricos) α₁, α₂, ——–, α_r, que son funciones de parámetros desconocidos θ₁, θ₂, —–, θ_metro.

Al igualar los momentos muestrales y los momentos poblacionales, obtenemos los estimadores de θ₁, θ₂, —–, θ_metro.

2. Estimador de máxima verosimilitud (MLE)

Este método de hallar estimadores puntuales intenta hallar los parámetros desconocidos que maximizan la función de verosimilitud. Toma un modelo conocido y utiliza los valores para comparar conjuntos de datos y hallar la coincidencia más adecuada para los datos.

Matemáticamente,

Considere una muestra X₁, X₂, X₃, —, X_norte de f (x; θ). El objetivo es estimar los parámetros θ (escalar o vectorial).

La función de verosimilitud se establece como:

L (θ; x₁, X₂, —, X_norte) = f (x₁, X₂, —, X_norte; θ)

Un MLE de θ es el valor θ ‘(una función de muestra) que maximiza la función de verosimilitud

Si L es una función diferenciable de θ, entonces se utiliza la próxima ecuación de verosimilitud para obtener el MLE (θ ‘):

d / dθ (ln (L (θ; x₁, X₂, —, X_norte) = 0

Si θ es un vector, entonces se considera que las derivadas parciales obtienen las ecuaciones de verosimilitud.

Estimación puntual frente a estimación por intervalo

Simplemente, hay dos tipos principales de estimadores en estadística:

• Estimadores puntuales
• Estimadores de intervalo

La estimación puntual es lo opuesto a la estimación por intervalos.

La estimación puntual genera un valor único, mientras que la estimación por intervalos genera un rango de valores.

Un estimador puntual es una estadística que se utiliza para estimar el valor de un parámetro desconocido de una población. Utiliza datos de muestra de la población al calcular una única estadística que se considerará como la mejor estimación para el parámetro desconocido de la población.

Fuente de la imagen: imágenes de Google

Por el contrario, la estimación de intervalo toma datos de muestra para establecer el intervalo de los posibles valores de un parámetro desconocido de una población. El intervalo del parámetro se selecciona de manera que esté dentro de un 95% o más de probabilidad, además conocido como intervalo de confianza. El intervalo de confianza describe qué tan confiable es una estimación y se calcula a partir de los datos observados. Los puntos finales de los intervalos se conocen como superior y límites de confianza más bajos.

Notas finales

¡Gracias por leer!

Espero que haya disfrutado del post y haya aumentado sus conocimientos sobre la teoría de la estimación.

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Sobre el Autor

Aashi Goyal

En este momento, estoy cursando mi Licenciatura en Tecnología (B.Tech) en Ingeniería Electrónica y de la Comunicación de Universidad Guru Jambheshwar (GJU), Hisar. Estoy muy entusiasmado con la estadística, el aprendizaje automático y el aprendizaje profundoEl aprendizaje profundo, una subdisciplina de la inteligencia artificial, se basa en redes neuronales artificiales para analizar y procesar grandes volúmenes de datos. Esta técnica permite a las máquinas aprender patrones y realizar tareas complejas, como el reconocimiento de voz y la visión por computadora. Su capacidad para mejorar continuamente a medida que se le proporcionan más datos la convierte en una herramienta clave en diversas industrias, desde la salud....

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