Estimadores de ponto | Guia para estimadores pontuais em estatísticas

Introdução

Teoria da estimativa e Testando hipóteses são os conceitos muito importantes de Estatística amplamente utilizados por Estatisticas, Engenheiros de aprendizado de máquina, e Cientistas de dados.

Então, neste post, vamos discutir estimadores de ponto na teoria de estimativa de estatísticas.

Tabela de conteúdo

1. Estimadores e estimadores

2. O que são estimadores pontuais?

3. Qual é a amostra aleatória e estatística?

4. Duas estatísticas comuns usadas:

• Amostra média
• Variância da amostra

5. Propriedades dos estimadores pontuais

• Imparcialidade
• Eficiente
• Consistente
• O suficiente

6. Métodos comuns para encontrar estimativas pontuais

7. Estimativa pontual vs. estimativa de intervalo

Estimativa e estimadores

Seja X uma variável aleatória com distribuição F_X(x; θ), onde θ é um parâmetro desconhecido. Uma amostra aleatória, X₁, X₂, –, X_Norte, de tamanho n tirado em X.

O problema de estimativa de pontos é selecionar uma estatística, g (X₁, X₂, —, X_Norte), que melhor estima o parâmetro θ.

Uma vez observado, o valor numérico de g (x₁, X₂, —, X_Norte) é chamado de estimativa e estatística g (X₁, X₂, —, X_Norte) é chamado de estimador.

O que são estimadores pontuais?

Os estimadores pontuais são definidos como as funções usadas para encontrar um valor aproximado de um parâmetro da população a partir de amostras aleatórias da população.. Eles usam a ajuda de dados de amostra de uma população para estabelecer uma estimativa pontual ou estatística que sirva como a melhor estimativa de um parâmetro desconhecido de uma população.

Fonte da imagem: Imagens do google

Muitas vezes, os métodos existentes para encontrar os parâmetros de grandes populações são irrealistas.

Como um exemplo, quando queremos encontrar a altura média das pessoas que participam de uma conferência, será impossível coletar a altura exata de todas as cidades de conferência do mundo. Em vez de, um estatístico pode usar o estimador de ponto para estimar o parâmetro da população.

Amostra aleatória e estatísticas

Amostra aleatória: Um conjunto de IID (distribuído de forma independente e idêntica) variáveis ​​aleatórias, X₁, X₂, X₃, —, X_Norte estabelecido no mesmo espaço amostral é chamado de amostra aleatória de tamanho n.

Estatisticas: Uma função de uma amostra aleatória é chamada de estatística (se não for dependente de qualquer entidade desconhecida)

Como um exemplo, X₁+ X₂+ —— + X_Norte, X₁²X₂+ e^X3, X₁– X_Norte

Média da amostra e variância da amostra

Duas estatísticas importantes:

Deixe x₁, X₂, X₃, —, X_Norte seja uma amostra aleatória, então:

A média da amostra é denotada por X, e a variação da amostra é denotada por s²

Aqui x̄ ys² eles são chamados de parâmetros de amostra.

Os parâmetros populacionais são indicados por meio de:

σ² = variação da população e µ = média da população

FIG. População e média da amostra

Fonte da imagem: Imagens do google

FIG. População de amostra e variância

Fonte da imagem: Imagens do google

Características da média da amostra:

E (x̄) = 1 / n (Σ E (X_eu)) = 1 / n (nµ) = µ

Onde (x̄) = 1 / n²(Σ Var (X_eu)) = 1 / n² (nσ²) = σ²/Norte

Características da variância da amostra:

s² = 1 / (n-1) (Σ (x_eu– X )² ) = 1 / (n-1) (Σ x_eu² – 2x̄ Σ x_eu + nx̄² ) = 1 / (n-1) (Σ x_eu² – nx̄² )

Agora, Vamos considerar a expectativa de ambos os lados, nós obtemos:

E (s²) = 1 / (n-1) (Σ E (x_eu²) – nenhum (x̄²)) = 1 / (n-1) (Σ (µ²+ σ²) – n (µ²+ σ²/ n)) = 1 / (n-1) ((n-1) σ²) = σ².

Propriedades dos estimadores pontuais

Em qualquer problema de estimativa, podemos ter uma classe infinita de estimadores apropriados para selecionar. O problema é encontrar um estimador g (X₁, X₂, —, X_Norte), para um parâmetro desconhecido θ ou sua função Ψ (θ), que tem propriedades “legais”.

Essencialmente, gostaríamos que o estimador g fosse "próximo" de Ψ.

A seguir estão as principais propriedades dos estimadores pontuais:

1. imparcialidade:

Vamos primeiro entender o significado do termo “Tendência”

A diferença entre o valor esperado do estimador e o valor do parâmetro estimado é chamada de viés de um estimador pontual..

Por isso, o estimador é considerado imparcial quando o valor estimado do parâmetro e o valor do parâmetro sendo estimado são iguais.

Ao mesmo tempo, quanto mais próximo o valor esperado de um parâmetro estiver do valor do parâmetro sendo medido, quanto menor o valor de polarização.

Matematicamente,

Um estimador g (X₁, X₂, —, X_Norte) é considerado um estimador imparcial de θ se

E (g (X₁, X₂, —, X_Norte)) = θ

Em outras palavras, em média, esperamos que g esteja próximo do parâmetro verdadeiro θ. Vimos que se X₁, X₂, —, X_Norte ser uma amostra aleatória de uma população com média µ e variância σ², depois de

E (x̄) = µ y E (s²) = σ²

Por isso, x̄ e s² são estimadores imparciais para µ e σ²

2. Eficiente:

O estimador de ponto mais eficiente é aquele com a menor variância de todos os estimadores não enviesados ​​e consistentes.. A variância representa o nível de dispersão da estimativa, e a menor variância deve variar menos de amostra para amostra.

Geralmente, a eficiência do estimador depende da distribuição da população.

Matematicamente,

Um estimador grama₁(X₁, X₂, —, X_Norte) é mais eficiente do que grama₂(X₁, X₂, —, X_Norte), para θ sim

Onde (g₁(X₁, X₂, —, X_Norte)) <= Var (g₂(X₁, X₂, —, X_Norte))

3. Consistente:

A consistência descreve quão próximo o estimador de ponto permanece do valor do parâmetro à medida que aumenta de tamanho.. Para torná-lo mais consistente e preciso, o estimador de ponto precisa de um grande tamanho de amostra.

Podemos também verificar se um estimador de ponto é consistente, observando seu respectivo valor esperado e variância.

Para o estimador de ponto ser consistente, o valor esperado deve mover-se em direção ao valor real do parâmetro.

Matematicamente,

Deixe g₁, g₂, g₃, ——- seja uma sequência de estimadores, a sequência é considerada consistente se convergir para θ em probabilidade, Em outras palavras,

P (| g_metro(X₁, X₂, —, X_Norte) – θ | > ε) -> 0 quando m-> ∞

Se X₁, X₂, —, X_Norte é uma sequência de variáveis ​​aleatórias IID tal que E (X_eu) = µ, mais tarde por WLLN (Lei fraca de grandes números):

X_Norte‘—–> µ de probabilidade

Onde X_Norte'É a média de X₁, X₂, X₃, —, X_Norte

4. O suficiente:

Seja uma amostra de X ~ f (x; θ). E Y = g (X₁, X₂, —, X_Norte) é uma estatística tal que para qualquer outra estatística Z = h (X₁, X₂, —, X_Norte), a distribuição condicional de Z, uma vez que Y = y não depende de θ, então Y é chamado de estatística suficiente para θ.

Métodos comuns para encontrar estimativas pontuais

O procedimento de estimativa pontual envolve a utilização do valor de uma estatística obtida com o auxílio de dados amostrais para estabelecer a melhor estimativa do respectivo parâmetro desconhecido da população.. Vários métodos podem ser usados ​​para calcular ou determinar os estimadores pontuais, e cada técnica tem propriedades diferentes. Alguns dos métodos são os seguintes:

1. Método dos momentos (MÃE)

Ele começa considerando todos os fatos conhecidos sobre uma população e, em seguida, aplica esses fatos a uma amostra da população.. Em primeiro lugar, deriva equações que relacionam os momentos da população aos parâmetros desconhecidos.

O próximo passo é extrair uma amostra da população que será usada para estimar os momentos da população. As equações geradas na etapa um são então resolvidas com a ajuda da média da amostra dos momentos da população. Isso dá a melhor estimativa dos parâmetros desconhecidos da população.

Matematicamente,

Considere uma amostra X₁, X₂, X₃, —, X_Norte a partir de f (x; θ₁, θ₂, —–, θ_metro) .O objetivo é estimar os parâmetros θ₁, θ₂, —–, θ_metro.

Que os momentos da população sejam (teóricos) uma₁, uma₂, ——–, uma_r, que são funções de parâmetros desconhecidos θ₁, θ₂, —–, θ_metro.

Equacionando os momentos da amostra e os momentos da população, obtemos os estimadores de θ₁, θ₂, —–, θ_metro.

2. Estimador de máxima verossimilhança (MLE)

Este método de encontrar estimadores pontuais tenta encontrar os parâmetros desconhecidos que maximizam a função de verossimilhança. Pegue um modelo conhecido e use os valores para comparar conjuntos de dados e encontrar a melhor correspondência para os dados.

Matematicamente,

Considere uma amostra X₁, X₂, X₃, —, X_Norte desligado (x; θ). O objetivo é estimar os parâmetros θ (escalar ou vetor).

A função de verossimilhança é definida como:

eu (θ; x₁, X₂, —, X_Norte) = f (x₁, X₂, —, X_Norte; θ)

Um MLE de θ é o valor θ ‘(uma função de amostra) que maximiza a função de verossimilhança

Se L é uma função diferenciável de θ, então a próxima equação de verossimilhança é usada para obter o MLE (θ ‘):

d / dθ (em (eu (θ; x₁, X₂, —, X_Norte) = 0

Se θ é um vetor, então considera-se que as derivadas parciais obtêm as equações de verossimilhança.

Estimativa pontual vs. estimativa de intervalo

Simplesmente, Existem dois tipos principais de estimadores em estatísticas:

• Estimadores de ponto
• Estimadores de intervalo

A estimativa de ponto é o oposto da estimativa de intervalo.

A estimativa de pontos gera um valor único, enquanto a estimativa de intervalo gera uma gama de valores.

Um estimador de ponto é uma estatística usada para estimar o valor de um parâmetro desconhecido em uma população. Usa dados de amostra da população ao calcular uma única estatística que será considerada a melhor estimativa para o parâmetro desconhecido da população.

Fonte da imagem: Imagens do google

Pelo contrário, a estimativa de intervalo leva dados de amostra para estabelecer a faixa de valores possíveis de um parâmetro desconhecido em uma população. O intervalo do parâmetro é selecionado para estar dentro de um 95% ou mais provavelmente, também conhecido como intervalo de confiança. O intervalo de confiança descreve o quão confiável é uma estimativa e é calculado a partir dos dados observados. Os pontos finais dos intervalos são conhecidos como superior e limites de confiança mais baixos.

Notas finais

Obrigado pela leitura!

Espero que você tenha gostado da postagem e aumentado seu conhecimento da teoria de estimativa.

Por favor sinta-se à vontade para me contactar sobre Correio eletrônico

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Sobre o autor

Aashi Goyal

Neste momento, Estou cursando bacharelado em tecnologia (B.Tech) em Engenharia Eletrônica e de Comunicação Universidad Guru Jambheshwar (GJU), Hisar. Estou muito animado com as estatísticas, aprendizado de máquina e aprendizado profundo.

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