Distribuições discretas de probabilidade | Tipos de distribuições de probabilidade

Este artigo foi publicado como parte do Data Science Blogathon.

Introdução

Hoje, vamos falar sobre um dos conceitos fundamentais da estatística: distribuições de probabilidade. Eles ajudam a compreender melhor os dados e atuam como uma base para a compreensão de conceitos mais estatísticos, como intervalos de confiança e testes de hipótese.

Definição informal

Seja X uma variável aleatória que tem mais de um resultado possível. Trace a probabilidade no eixo y e o resultado no eixo x. Se repetirmos o experimento muitas vezes e representarmos graficamente a probabilidade de cada resultado possível, obtemos um gráfico que representa as probabilidades. Este gráfico é chamado de distribuição de probabilidade (PD). A altura do gráfico para X dá a probabilidade desse resultado.

Tipos de distribuições de probabilidade

Existem dois tipos de distribuições de acordo com o tipo de dados gerados pelos experimentos.

1. Distribuições discretas de probabilidade

Essas distribuições modelam as probabilidades de variáveis ​​aleatórias que podem ter valores discretos como resultados.. Por exemplo, os valores possíveis para a variável aleatória X que representa o número de caras que podem ocorrer quando uma moeda é lançada duas vezes são o conjunto {0, 1, 2} e não qualquer valor de 0 uma 2 O que 0.1 o 1.6.

Exemplos: Bernoulli, Binomial, Binomial negativo, Hipergeométrico, etc.,

2. Distribuições de probabilidade contínua

Essas distribuições modelam as probabilidades de variáveis ​​aleatórias que podem ter qualquer resultado possível.. Por exemplo, os valores possíveis para a variável aleatória X que representa o peso dos cidadãos em uma cidade que pode ter qualquer valor, como 34,5, 47,7, etc.

Exemplos: Normal, T o Aluno, Chi ao quadrado, Exponencial, etc.,

Terminologias

Cada DP nos fornece informações adicionais sobre o comportamento dos dados envolvidos.. Cada PD é dado por uma função de probabilidade que generaliza as probabilidades dos resultados.

Com isto, podemos estimar a probabilidade de um determinado resultado (discreto) ou a probabilidade de que caia dentro de um determinado intervalo de valores para qualquer resultado (contínuo). A função é chamada de função de massa de probabilidade (PMF) para distribuições discretas e função de densidade de probabilidade (PDF) para distribuições contínuas. O valor total de PMF e PDF em todo o domínio é sempre igual a um.

Função de distribuição cumulativa

O PDF fornece a probabilidade de um determinado resultado, enquanto a função de distribuição cumulativa fornece a probabilidade de ver um resultado menor ou igual a um determinado valor da variável aleatória. Os CDFs são usados ​​para verificar como a probabilidade foi adicionada até um certo ponto. Por exemplo, e P (X = 5) é a probabilidade de que o número de caras ao jogar uma moeda seja 5, P (X <= 5) denota a probabilidade cumulativa de obter de 1 uma 5 rostos.

As funções de distribuição cumulativa também são usadas para calcular os valores p como parte do teste de hipótese..

Distribuições discretas de probabilidade

Existem muitas distribuições de probabilidade discretas para usar em diferentes cenários. Discutiremos distribuições discretas neste artigo.. As distribuições binomial e de Poisson são as mais discutidas na lista a seguir.

1. Distribuição Bernoulli

Essa distribuição é gerada quando realizamos um experimento uma vez e só tem dois resultados possíveis: sucesso e fracasso. Os testes desse tipo são chamados de testes de Bernoulli., que formam a base de muitas distribuições discutidas abaixo. Seja p a probabilidade de sucesso e 1 – p é a probabilidade de falha.

O PMF é dado como

Um exemplo disso seria jogar uma moeda uma vez. p é a probabilidade de progredir e 1 – p é a probabilidade de obter uma cauda. Observe que o sucesso e o fracasso são subjetivos e nós os definimos com base no contexto.

2. Distribuição binomial

Isso é gerado para variáveis ​​aleatórias com apenas dois resultados possíveis. Seja p a probabilidade de que um evento seja um sucesso, o que implica que 1 – p é a probabilidade de que o evento seja uma falha. Realizar o experimento repetidamente e representar graficamente a probabilidade a cada vez nos dá a distribuição Binomial.

O exemplo mais comum dado para a distribuição binomial é lançar uma moeda n várias vezes e calcular as probabilidades de obter um determinado número de caras. Mais exemplos do mundo real incluem o número de ligações de vendas bem-sucedidas para uma empresa ou se um medicamento funciona ou não para uma doença..

O PMF é dado como,

onde p é a probabilidade de sucesso, n é o número de tentativas e x é o número de vezes que obtivemos sucesso.

3. Distribuição hipergeométrica

Considere o caso de remover uma bola de gude vermelha de uma caixa de bolas de gude de cores diferentes.. O evento de tirar uma bola vermelha é um sucesso e não puxá-la é um fracasso. Mas toda vez que uma bola de gude é desenhada, não é devolvido à caixa e, portanto, isso afeta a probabilidade de obter uma bola na próxima rodada. A distribuição hipergeométrica modela a probabilidade de sucessos k em n tentativas, onde cada tentativa é realizada sem substituição. Isso é diferente da distribuição binomial, onde a probabilidade permanece constante durante as tentativas..

O PMF é dado como,

onde k é o número de sucessos possíveis, x é o número desejado de sucessos, N é o tamanho da população e n é o número de tentativas.

4. Distribuição binomial negativa

Às vezes, queremos verificar quantos testes de Bernoulli precisamos fazer para obter um resultado específico. O resultado desejado é especificado com antecedência e continuamos o experimento até que seja alcançado. Considere o exemplo de rolar um dado. Nosso resultado desejado, definido como um sucesso, é conseguir um 4. Queremos saber a probabilidade de obter este resultado três vezes. Isso é interpretado como o número de falhas (outros números além de 4) o que vai acontecer antes de vermos o terceiro sucesso.

O PMF é dado como,

onde p é a probabilidade de sucesso, k é o número de falhas observadas e r é o número desejado de sucessos até que o experimento seja interrompido.

Como na distribuição binomial, a probabilidade entre as tentativas permanece constante e cada tentativa é independente da outra.

5. Distribuição geométrica

Este é um caso especial de distribuição binomial negativa, onde o número desejado de sucessos é 1. Mede o número de falhas que obtivemos antes de um sucesso. Usando o mesmo exemplo dado na seção anterior, gostaríamos de saber o número de falhas que vemos antes de obter as primeiras 4 ao jogar os dados.

onde p é a probabilidade de sucesso ek é o número de falhas. Aqui, r = 1.

6. Distribuição de veneno

Esta distribuição descreve os eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço.. Um exemplo pode esclarecer isso. Considere o caso do número de chamadas que um centro de atendimento ao cliente recebe por hora. Podemos estimar o número médio de chamadas por hora, mas não podemos determinar o número exato e a hora exata em que há uma chamada. Cada ocorrência de um evento é independente das outras ocorrências.

O PMF é dado como,

onde λ é o número médio de vezes que o evento ocorreu em um determinado período de tempo, x é o resultado desejado e e é o número de Euler.

7. Distribuição multinomial

Em distribuições anteriores, existem apenas dois resultados possíveis: sucesso e fracasso. Porém, distribuição multinomial descreve variáveis ​​aleatórias com muitos resultados possíveis. Às vezes, isso também é chamado de distribuição categórica, uma vez que cada resultado possível é tratado como uma categoria separada. Considere o cenário de jogar um jogo n vezes. A distribuição multinomial nos ajuda a determinar a probabilidade combinada de que o jogador 1 ganhar x₁ vezes, o jogador 2 vai ganhar x₂ vezes e o jogador k vence X_k vezes.

O PMF é dado como,

onde n é o número de tentativas, p_1,…… pag_k denotam as probabilidades dos resultados x₁…… X_k respectivamente.

Neste post, Definimos as distribuições de probabilidade e discutimos brevemente as diferentes distribuições de probabilidade discretas. Deixe-me saber sua opinião sobre o artigo na seção de comentários abaixo..

Referências

1. https://www.statisticshowto.com/

2. https://stattrek.com/

3. Wikipedia

Sobre mim

Sou um ex-engenheiro de software que trabalha na transição para a ciência de dados. Eu sou um estudante de mestrado em ciência de dados. Sinta-se à vontade para se conectar comigo em https://www.linkedin.com/in/priyanka-madiraju/

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